Changes

                       &= F(P, a_P) + G(a_1,..,a_{P-1})  \\

                       &= F(P, a_P) + G(a_1,..,a_{P-1})  \\

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) + G(a_1,..,a_{P-2}) \\

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) + G(a_1,..,a_{P-2}) \\

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) +  ... + F(1,,a_1)  \\

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) +  ... + F(1,a_1)  \\

                       &= \sum_{k=1}^P F(k, a_k) \\

                       &= \sum_{k=1}^P F(k, a_k) \\

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{a_k-1}  

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{a_k-1}