Changes

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) +  ... + F(1,,a_1)  \\

                       &= F(P, a_P) + F(P-1, a_{P-1}) +  ... + F(1,,a_1)  \\

                       &= \sum_{k=1}^P F(k, a_k) \\

                       &= \sum_{k=1}^P F(k, a_k) \\

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{a_k-1}   

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{a_k-1}  \\

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{k}   

                       &= \sum_{k=1}^P  \binom{k+a_k-1}{k}   

   \end{align}

   \end{align}